Bilingual edition: English is preserved and Chinese follows each unit. Terminology uses the confirmed v20260916 glossary; automated semantic review remains traceable.
中英双语版：英文原文完整保留，中文紧随对应单元；术语采用 v20260916 确认表，自动语义审校结果可追溯。

Low Speed Doppler Shift

低速多普勒效应
For many low velocity applications such as Doppler velocity measurement, the general form of the Doppler shift is unnecessarily complex. The general Doppler frequency expression

can be expanded by the binomial expansion and only the first two terms of the expansion used
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When expressed in terms of the frequency shift, this becomes
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Derivation
推导
Calculation
计算
在许多低速应用中，如多普勒速度测量，通用的多普勒频移形式过于复杂。通过二项式展开，通用的多普勒频率表达式可以展开，仅使用展开式的前两项。当以频率变化表示时，这便成为
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Doppler Expression Expansion

多普勒表达式展开

To get a simplified expression for the Doppler frequency expression, the square root in the expression

为简化多普勒频移表达式，需处理表达式中的平方根部分

can be expanded using the binomial expansion as

可以使用二项式展开式展开

For low speeds where v << c, the first two terms give a good approximation of the Doppler shift:

在低速情况下（v << c），前两项可以很好地近似多普勒效应：
Relativistic Doppler effect
相对论多普勒效应
Calculation
计算
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Doppler Calculation

多普勒计算
For the relativistic Doppler effect:
对于相对论多普勒效应：
中文译文中的待填/计算数值依次对应：1：dff 2：df 3：dfp 4：wsb 5：wsp 6：wob 7：wop 8：dwb 9：dwp 10：z。实际数值以上方原输入框为准。

v is the relative velocity.
Positive v means approaching.
v = x 108 m/s =c.

v 是相对速度。正的 v 表示接近。v = 10⁸ m/s = c.
中文译文中的待填/计算数值依次对应：1：v 2：vf。实际数值以上方原输入框为准。
For υsource
对于源速度υ
=x10^Hz
= ×10⁴ Hz
中文译文中的待填/计算数值依次对应：1：fsb 2：fsp。实际数值以上方原输入框为准。
υobserved
观测到的速率
=x10^Hz
= ×10⁴ Hz
中文译文中的待填/计算数值依次对应：1：fob 2：fop。实际数值以上方原输入框为准。
=
Δυ=x10^
For λsource
对于λ源
=x10^m
λobserved
观测到的波长
=x10^m
Δλ=x10^m
==

For red shift calculations, use negative velocities. Unspecified parameters will default to values for a hydrogen red line source receding at 0.5c, but all values can be changed.

在计算红移时，使用负速度。未指定的参数将默认为氢红光谱线源以0.5c远离时的值，但所有值都可以更改。
Relativistic Doppler effect
相对论多普勒效应
Doppler frequency change
多普勒频移
Doppler wavelength change
多普勒波长变化
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